Математическая система быстрого счета Трахтенберга

Система Трахтенберга — система устного счёта, разработанная математиком Яковом Трахтенбергом во время заключения в нацистском концлагере. Состоит из нескольких частей — методов умножения на числа от 2 до 12, метода умножения произвольных натуральных чисел и другого.

Общее умножение

Пусть даны два числа — $a$ и $b$ , выглядящие в десятичной записи как $\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$ и $\ldots b_{2}b_{1}b_{0}$ . Стандартный алгоритм умножения $a$ на $b$ предписывает умножить $a$ на все разряды $b_{0},b_{1},b_{2},\ldots$ по очереди и сложить результаты, учитывая их сдвиг. Трахтенберг предлагает взамен считать $n$ -ый разряд ответа как сумму переноса из предыдущего разряда и $\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}$ , не записывая промежуточные вычисления.

Действительно, разложим

\sum _{i}a_{i}10^{i}\cdot \sum _{j}b_{j}10^{j}

по дистрибутивности: слагаемые $a_{i}b_{j}10^{i+j}$ с $i+j<n$ влияют на разряд $10^{n}$ только в виде переноса, а с $i+j>n$ — вообще не влияют.

Например, умножим 12345 на 21.

перенос	$\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}$	Всего	Цифра
0	5*1	5	5
0	41+52	14	4
1	31+42	12	2
1	21+32	9	9
0	11+22	5	5
0	1*2	2	2

Итого, читая снизу вверх, получается 259245. Яков Трахтенберг предлагает делать вычисления, записанные в таблице выше, в уме, выписывая только результат.

Частные правила умножения

Умножение на 11

Правило: Добавь цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 3425 × 11 = 37675

3425 × 11 = (0+3)(3+4)(4+2)(2+5)(5+0) = 37675

Умножение на 12

Правило: Добавь удвоенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 2413 × 12 = 28956

2413 × 12 = (0×2+2)(2×2+4)(4×2+1)(1×2+3)(3×2+0) = 28956

Умножение на 13

Правило: Добавь утроенную цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 5876 × 13 = 76388

5876 × 13 = (0×3+5)(5×3+8)(8×3+7)(7×3+6)(6×3+0) = 76388

Умножение на 14

Правило: Добавь учетверённую цифру к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 4859 × 14 = 68026

4859 × 14 = (0×4+4)(4×4+8)(8×4+5)(5×4+9)(9×4+0) = 68026

Умножение на 17

Правило: Добавь цифру, умноженную на разряд единиц, к её соседу справа, не забывая про перенос через разряд.

Пример: 5739 × 17 = 97563

5739 × 17 = (0×7+5)(5×7+7)(7×7+3)(3×7+9)(9×7+0) = 97563

Спасибо, что Вы с нами!

Источник: IQjournal.ru